搜索
4. 含有条件的排列组合应用题：
例1：某班有男生25人，女生21人，现选男生3人，女生2人分别担任正、副班长、学委、体委、宣委，问有多少种不同的选举方法？
上题中，（1）如果由25名男生中选3人担任班长、学委、体委，女生中选2人担任副班长、宣委，问有多少种不同的选法？
（2）若25名男生中选3人，21名女生中选2人，分别担任正、副班长、学委、体委、宣委，若正班长必须由男生担任，问有多少种不同的选法？
例2：从1到9这9个数字中取5个数字排列，奇数只能排在个位、十位或百位，问这样的无重复的五位数有多少个？
例3： 4人分住两个房间，每个房间至少住进1人，求不同的安排方法数？
例4：圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形共有 个.
（A）12 （B）16 （C）24 （D）48
课后练习与检测：
1.①8人站成一排，不同的站法有 种.
（A）10080 （B）13440 （C）20160 （D）40320.
②6人站成一排，甲不站头，乙不站尾，不同的站法有 种.
（A）504 （B）480 （C）360 （D）240.
③5件不同礼品分送给4人，每人至少一件，而且礼品全部送出，那么送出礼品的方法数是 .
（A）960 （B）480 （C）240 （D）120.
④4个小组，分别从3个风景点中选一处进行观光旅游，不同的选择方案的种数是 .
（A） （B） （C）34 （D）43
2.书架上竖排着六本数，现将新购的3本书上架，要求不调乱书架上原有的书，那么不同的上架方式共有多少种？
（选做）3.小李打算从10位朋友中邀请4位去旅游，这10位朋友中，有一对双胞胎，对这两位朋友，要么邀请，要么不邀请.求不同的邀请方案的种数.
【概念复习】
1. 排列的定义：
2. 排列数公式：
【应用举例】
1. 判断下列问题是否是排列问题：
① 从7名同学中选3人去完成3种不同的工作，每人完成一种，有多少种不同的选派方法…………………………………………………………………………（ ）
② 从7名同学中选3人去某地参加一个会议…………………………………（ ）
③ 设m、n，则可以构成多少个焦点在x轴的椭圆（ ）
④ 从6名同学中选4人，参加4´100m接力赛，有多少种不同的参赛方案……（ ）
小结1：判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，否则不是.
2. 用0、1、2、3、4、5、6组成满足下列条件的数各多少个？
① 无重复数字的四位数；
② 无重复数字的四位数偶数；
③ 无重复数字的四位数且能被5整除；
④ 个位数字大于十位数字的四位数.
小结2：解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素战位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位
3. 三个男生和四个女生安下列条件排成一排有多少种排法？
① 男生排在一起，女生排在一起有；
② 男女生间隔相排；
③ 男生互不相邻；
④ 甲乙两人必须相邻.
小结3：解决相邻问题通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法.
【检测练习】
1.用1、2、3、4、5这5个数字组成没有重复数字的3位数，其中偶数共有……（ ）
A.24 B.30 C.40 D.60
2.有9个男生，5个女生排成一排，要求女生排在一起(中间不能有男生)，不同的排
有（ ）种………………………………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.2
3.用1，2，3，4，5，6，7这7个数字作全排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，这样的七位数共有………………………………（ ）
A. B. C. D.3
4.用0，2，4，6，9五个数字组成无重复数字的五位偶数，共有（ ）个
A. B. C. D.
5.用数字0，1，2，3，4能组成没有重复数字且比20000大的五位数奇数共有 ( )个
A.36 B.30 C.72 D.18
6.有3位老师和5位学生照相，如果老师不排在最左边且老师不相邻，则不同的排法种数是（ ）
A. B. C. D.
7.一台晚会有6个节目，其中有两个小品，如果两个小品不连续演出，共有不同的演出顺序 种
8.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的五位数？五位奇数？五位偶数？
9.某班一天六节课：语文、英语、数学、物理、体育、自习.按下列要求，分别有多少种排课方法
①第一节不排体育、自习；
②数学不排下午，体育不排在第一、四节.
【几何复习题】
求双曲线x2-4y2=-8的焦点、顶点坐标，取值范围，实轴、虚轴的长，渐近线、准线、共轭双曲线的方程，离心率，两准线的距离.
【概念复习】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 .表示为 .
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
4. 从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是 .
5. 什么叫全排列？n个元素的全排列表示为 = ，这是 个连续自然数的积，n个元素的全排列叫做 ，表示为 .
6. 用全排列（或阶乘）表示的排列数公式为 .
【例题与练习】
1. 计算：
①= ②= = ④=
⑤= ⑥= =
2. 某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
3. 某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
小结：解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.
4. 用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位数 个.
5. 用排列数表示下列各式：
① 10´9´8´7´6= ② 24´23´22´…´3´2´1=
③ n・(n-1) ・(n-2) ・(n-3)=
6.①从x个不同元素中任取3个的排列数为720，则x= ；
②，求x的值.
小结：解有关排列数的方程关键在于用排列数公式将方程转化为关于x的一元方程.
【课后检测】
1.由数字1、2、3、4、5、6可以组成没有重复数字的五位数 个；
自然数 个；三位数 个.
2.5个人排成一排，共有 种不同的排法.
3.从5个人中任选两人分别担任班长和团书记，所有选法的总数为 .
4.求下列各式中的n：
① ② ③
5.求证：① ②
③
【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn
种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m1´m2´m3´…´mn
种不同的方法.
3.两个原理的区别：
【练习1】
1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请一一列出.
【基本概念】
1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m()个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列.
4. 什么叫一个排列？
【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？
2.已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1. 定义：从n个不同元素中，任取m()个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2. 排列数公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
； ； ； ；
计算：= ； = ；= ；
【课后检测】
1. 写出：
① 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列；
② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
2. 计算：
① ② ③ ④
【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2种不同的方法……，第n办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn
种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，.那么完成这件事共有
N=m1´m2´m3´…´mn
种不同的方法.
3.两个原理的区别：
【应用举例】
1.① 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
② 由数字0、1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？
③ 由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个十位数字大于个位数字的两位数？
2.105有多少个约数？并将这些约数写出来.
3.从5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画中选不同画种的两幅画布置房间，有几种选法？
4.若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个数有多少？
【课后检测及练习】
1. 若x、y，且|x|<4,|y|<5，则以（x,y）为坐标的点的个数是……………………………………（ ）
A. 63 B. 36 C. 16 D. 9
2. 有不同的语文书9本，不同的英文书7本，不同的法文书5本，从中选出不属于同一种文字的书2本，不同的选法种数有……………………………………………………………………………………（ ）
A. 315 B. 277 C.143 D. 98
3.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数有 个.
4.乘积（a1+a2+a3）(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开共有 个项.
5.有四位考生安排在5个考场参加考试.有 种不同的安排方法.
6.已知,则(x-a)2+(y-b)2=R2所表示的不同圆有 个.
7.有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码，一个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码，第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码.
① 从袋子里任取一个小球有多少种不同的取法？
② 从袋子里任取红、白、黄小球各一个，有多少种不同的取法？
8.已知，那么可以表示多少个不同的对数？其中正、负数各多少？
【思考问题1】
1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有四班，汽车有2班，轮船有3班.. 那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
北 北
2.由A村去B村的道路有3条，由B村去C 中
共有多少种不同的走法？ 南 B村 南
【基本原理】
1.加法原理 做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二办法中有m2不同的方法……，第n办法中有mn不同的方法那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn
种不同的方法.
2.乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法.那么完成这件事共有
N=m1´m2´m3´…´mn
种不同的方法.
3.两个原理的区别 一个与分类有关，一个与分步有关.
【思考问题2】
题1：找1---10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5 的合数，共有1个.
所以1---10中共有N=4+2+1=7个合数.分析是否正确？
北8
北5 图中的数字为走完该段路所需时间，从A村到C村
南6 南3
【原理浅释】
1. 进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.
2. 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.
【应用举例】
1. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.
① 从中任取一本，有多少种不同的取法？
② 从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
2. 某班有22名女生，23名男生.
① 选一位学生代表班级去领奖，有几种不同选法？
② 选出男学生与女学生各一名去参加智力竞赛，有几种不同的选法？
3.复数x+yi，若x、y可分别取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的任一个，可组成 个不同的复数，可组成 不同的虚数.
【检测与练习】
1.若a、bN，且a+b6,,则复数a+bi的个数是……………………………………………（ ）
A. 72 B.36 C.20 D.12
2.三科教师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情形有……………………………（ ）
A.64 B.81 C.24 D.4
3.若5个运动员争夺三项冠军，则冠军结果种数为……………………………………………………（ ）
A.5 B.60 C.125 D.243
4.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同.
① 从两个口袋内任取一个小球，有 种不同的取法；
②从两个口袋内各取一个小球，有 种不同的取法.
5.新华书店有语文、数学、英语练习册各10本，买其中一本有 种方法，买两本且要求书不同种的有 种方法.
6.某工厂有三个车间，第一车间有三个小组，第二车间有四个小组，第三车间有五个小组.有一个新工人分配到该工厂工作，有几种不同的安排？
课 题：
加法原理和乘法原理
教学内容：
加法原理和乘法原理
教学目的：
1．加法原理和乘法原理
2．让学生学会从具体到抽象的思维过程。
教学重点：
两个原理的归纳
教学难点：
两个原理的应用
教学方法：
研讨法
教学过程：
1．课题引入
排列、组合和二项式定理是一门在生产和生活实际中运用很广的数学知识。学好它对我们的生活和实践都会带来许多方便。要学好它，并不难，只要认真学会下面的原理：加法原理和乘法原理。
2．研究课题
分析下面问题，有些什么特征，能得出一些一般的结论吗？
1） 修山至桃江有2班船， 5班车，共有几种不同的方法从修山至桃江？
2） 修山经益阳至长沙市，修山有水路1条，公路3条至益阳，益阳至长沙有水路1条，公路2条，铁路1条，共有几种不同的方法从修山至长沙市？
3） 你的桌上摆有一垒32开的书5本和一叠16开的书6本，现从中选取1本，共有多少种不同的选取方法？
4） 你的桌上摆有一垒32开的书5本和一叠16开的书6本，现从中选取1本32开的书和2本16开的书，共有多少种不同的选取方法？
3．学生活动
a) 对下面四个问题作出回答。
b) 相互之间交流解决问题的方法。
c) 总结解这类问题的一般方法。
4．课题总结
由解决问题1）、3）可总结出
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1+m2+…+mn
种不同的方法。
由解决问题2）、4）可总结出
乘法原理：做一件事，完成它可以有n个步骤，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，……，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m1×m2×…×mn
种不同的方法。
5．学生实践
1）由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？可以组成多少个可以有重复数字的三位数？可以组成多少个有重复数字的三位数？
2）在你的桌上左边摆一垒32开的书5本不同的书，右边摆一叠16开的书6本不同的书，共有多少种不同的摆法？
6．课后任务
a) 阅读：课本P219－223
b) 作业：P222.NO5、6、7
c) 实践活动：7位同学编排座次，共有多少种不同的排法？
d) 预习：课本P224－227
