10.设分别为定义在上的奇函数和偶函数，当时，

，且，则不等式的解集是   （       ）

A .     B.     C.     D.

11. 函数在处的导数值为           （       ）

A.0              B.          C.200               D.100！

12. 是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是                                               （      ）

A．若,则函数的图象关于原点对称.

                      B．若，,则方程有大于2的实根.

                      C．若,,则方程有两个实根.

D．若,,则方程有三个实根.

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

13.设函数，若为偶函数，则=__________.

14. 已知函数的导数为，则           .

15. 设函数，若对于任意∈[-1，2]都有成立，则实数的取值范围为             .

16.已知半径为的圆的面积，周长。若将看作上的变量，则，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.类似地，对于半径为的球，若将看作上的变量，则亦类似的式子：_______________，即_____________.

17. (本小题满分10分)已知二次函数满足：①在时有极值； ②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线平行．

（Ⅰ）求的解析式；  

（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

18. (本小题满分12分)设求函数的单调区间。

19. (本小题满分12分)有甲乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40km的B处，B到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边选择合适的地点见一个供水站C，设供水站到甲厂和乙厂的水管费分别为每千米3a元和5a元

问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

20. (本小题满分12分)已知函数

（Ⅰ）当的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

21. (本小题满分12分) 已知函数.

（Ⅰ）如果存在极值，求a的取值范围；

（Ⅱ）当时，解关于x的不等式（其中）．

22.(本小题满分12分) 设 f (x) = px－－2 ln x，且 f (e) = qe－－2（e为自然对数的底数，p、q为实数）.

(I)   求 p 与 q 的关系；

(II)  若 f (x) 在其定义域内为单调减函数，求 p 的取值范围；

(III) 设 g(x) = ，若在 [1,e] 上至少存在一点x₀，使得 f (x₀) > g(x₀) 成立, 求实数 p 的取值范围.

石家庄二中2007 -2008学年度高三假期考试

数学试题答案（理）

1.A  2.B  3.A  4.C  5A.  6.B  7.C  8.D  9.A  10.D  11.D  12.B  13.  14.  15. （7，+）16.，球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

17. 【解答】（Ⅰ）设f(x)=ax²+bx+c，则f ¢(x)=2ax+b．

    由题设可得：即解得

所以f(x)=x²-2x-3．                                                        4分

   （Ⅱ）g(x)=f(x²)=x⁴－2x²－3，g ¢(x)=4x³－4x=4x(x－1)(x+1)．

列表：

x

(-∞,-1)

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,+∞)

f¢(x)

－

0

+

0

－

0

+

f(x)

ㄋ

ㄊ

ㄋ

ㄊ

 由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．                      10分

18. 【解答】

                                       2分

（1）若时，在时，故函数在上单调递增；            5分

（2）若时，由解得，由解得             

      所以函数在上单调递减，在上单调递增。              10分

综上所述（1）当，函数在上单调递增；

  （2）当，函数在上单调递减，在上单调递增,. 12分

19. 【解答】

   根据题意知，只有点C在线段AD某一适当位置时，才能使水管费用最省。

设点C距点Dkm, 则                                                   

                                            2分   

设总水管费用为元，

依题意得，，                      6分

则 令解方程得，                           9分

即在上，只有一个极值点，据实际问题的意义，函数在km处取得最小值，

此时AC=50-x=20km，

所以供水站应建在A,D之间距甲厂20km处，可使总水管费用最省。                12分

20. 【解答】（Ⅰ）

………………………………………………………………2分

当

所以函数的单调增区间为（－，－3），（－1，＋）；

单调减区间为（－3，－1）………………………………6分）

   （Ⅱ）

……………………8分

列表如下：……………………………………加表格10分

x

－2

（－2，－a）

－a

+

0

－

0

+

极大

极小

由表可知解得，所以存在实数a，使的极大值为3。………………………………………………12分

21.【解答】（Ⅰ）f(x)的定义域为(?∞, 1)…………………………………………（1分）

（1）当a≥1时，f(x)=a?x+ln(1?x), f′(x)=?1+<0, f(x)是减函数，无极值；…………………………………………………………………………………………（2分）

（2）当0≤a<1时，若x∈(?∞, a)，则f(x)=a?x+ln(1?x)单调递减；若x∈(a, 1)，则f(x)=x?a+ln(1?x), f′(x)=<0，f(x)单调递减，又f(x)在x=a处连续，所以当0≤a<1时，f(x)是减函数，无极值；………………………………………………………………（4分）

（3）当a<0时，随着x的变化，f′(x), f(x)的变化情况如下表：

x

(?∞, a)

a

(a, 0)

0

(0, 1)

f′(x)

?

+

0

?

f(x)

ㄋ

ln(1?a)

ㄊ

?a

ㄋ

…………………………………………………………………………………………（7分）

由上表可知，当a<0时，f(x)有极小值ln(1?a)，有极大值?a．

综上所述，如果f(x)存在极值，a的取值范围是(?∞, 0)…………………………（8分）

（Ⅱ）∵f(1?e)=a+e，∴原不等式就是f(x)≤f(1?e)……………………………（10分）

由（Ⅰ）知，当a≥0时，f(x)是减函数，∴x≥1?e，又x<1，∴不等式的解集为

[1?e, 1……………………………………………………………………………（12分）

22. 【解答】(I) 由题意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2， Þ (p－q) (e + ) = 0  

而 e + ≠0，∴ p = q       ………… 2分

(II)  由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x， f’(x) = p + －=

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调减函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足h’(x)≤0 恒成立.        ………… 4分

① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f’(x) = － < 0，

∴    f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意.      ………… 5分

②当 p < 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0,+¥)

只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0,+¥) 恒成立.故 p < 0适合题意.       

综上可得， p≤0  ………… 7分

另解：(II)      由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x， f’(x) = p + －= p (1 + )－…… 4分

要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调减函数，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足f’(x)≤0 恒成立.        ………… 5分

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤  Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0。综上可得p≤0       ………… 7分

(III) ∵    g(x) = 在 [1,e] 上是减函数，∴  x = e 时，g(x)_min = 2，x = 1 时，g(x)_max = 2e

即    g(x) Î [2,2e]

① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合题意。       …… 9分

② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0。∴       f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴    f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。       ………… 10分

③ p≥1 时， f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴    本命题 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e] Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

 Þ p >     

综上，p 的取值范围是 (,+¥) ………… 12分