Question

【题目】已知函数

（1）若直线与曲线都只有两个交点，证明：这四个交点可以构成一个平行四边形，并计算该平行四边形的面积；

（2）设函数在[1，2]上的值域为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）12.(2)

【解析】试题分析：（1）先求出函数的极值，再根据直线与曲线都只有两个交点得和的值，然后求出四个交点的坐标，即可证明这四个交点可以构成一个平行四边形及计算出该平行四边形的面积；（2）化简，然后求导，求出的极值，对进行分类讨论，求出单调性及最值，表示出，根据的取值，即可求出的单调性及最小值.

试题解析：（1）证明：令得

令得；令

∴的极大值为，极小值为.

∵,令或3；

令

∴这四个交点分别为（0，0），（3，0），（-1，-4），（2，-4）

∵3-0=2-（-1）=3

∴这四个交点可以构成一个平行四边形，且其面积为

(2)解：因为

所以

令，得或，

①当时，

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

又因为，所以

所以

因为

所以在上单调递减，所以当时， 的最小值为

②当时，

当时， ，所以在上单调递减；

当时， ，所以在上单调递增.

又因为，所以

所以

因为

所以在上单调递增，所以当时，

③当时，

当时， ，所以在上单调递减；

所以

所以

因为

所以在上的最小值为

综上， 的最小值为

点睛:本题考查利用导数研究函数的单调性与最值,对数函数的性质及分类讨论思想,利用导数研究函数的单调性时要注意先求函数的定义域,若所求的导数含有参数,在进行讨论时要做到分类标准统一,对参数的讨论要不重不漏.