Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：求导数可得f′（x）= ﹣a

∵f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，∴ ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，

∴a≥ ，x∈（1，+∞）．

∴a≥1．

令g′（x）=ex﹣a=0，得x=lna．当x＜lna时，g′（x）＜0；当x＞lna时，g′（x）＞0．

又g（x）在（1，+∞）上有最小值，所以lna＞1，即a＞e．

故a的取值范围为：a＞e．

（2）解：当a≤0时，g（x）必为单调函数；当a＞0时，令g′（x）=ex﹣a＞0，解得a＜ex，即x＞lna，

因为g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，类似（1）有lna≤﹣1，即0＜ ．结合上述两种情况，有 ．

①当a=0时，由f（1）=0以及f′（x）= ＞0，得f（x）存在唯一的零点；

②当a＜0时，由于f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，f（1）=﹣a＞0，且函数f（x）在[ea，1]上的图象不间断，所以f（x）在（ea，1）上存在零点．

另外，当x＞0时，f′（x）= ﹣a＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点．

③当0＜a≤ 时，令f′（x）= ﹣a=0，解得x= ．当0＜x＜ 时，f′（x）＞0，当x＞ 时，f′（x）＜0，

所以，x= 是f（x）的最大值点，且最大值为f（ ）=﹣lna﹣1．

（i）当﹣lna﹣1=0，即a= 时，f（x）有一个零点x=e；

（ii）当﹣lna﹣1＞0，即0＜a＜ 时，f（x）有两个零点；

实际上，对于0＜a＜ ，由于f（ ）=﹣1﹣ ＜0，f（ ）＞0，且函数f（x）在[ ]上的图象不间断，所以f（x）在（ ）上存在零点．

另外，当0＜x＜ 时，f′（x）= ﹣a＞0，故f（x）在（0， ）上时单调增函数，所以f（x）在（0， ）上只有一个零点．

下面考虑f（x）在（ ，+∞）上的情况，先证明f（ ）=a（ ）＜0．

为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2．设h（x）=ex﹣x2，则h′（x）=ex﹣2x，再设l（x）=h′（x）=ex﹣2x，则l′（x）=ex﹣2．

当x＞1时，l′（x）=ex﹣2＞e﹣2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上时单调增函数；

故当x＞2时，h′（x）=ex﹣2x＞h′（2）=e2﹣4＞0，从而h（x）在（2，+∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，h（x）=ex﹣x2＞h（e）=ee﹣e2＞0，即当x＞e时，ex＞x2

当0＜a＜ ，即 ＞e时，f（ ）= =a（ ）＜0，又f（ ）＞0，且函数f（x）在[ ， ]上的图象不间断，所以f（x）在（ ， ）上存在零点．

又当x＞ 时，f′（x）= ﹣a＜0，故f（x）在（ ，+∞）上是单调减函数，所以f（x）在（ ，+∞）上只有一个零点．

综合（i）（ii）（iii），当a≤0或a= 时，f（x）的零点个数为1，当0＜a＜ 时，f（x）的零点个数为2．

【解析】（1）求导数，利用f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，转化为 ﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，结合导数知识，即可求得结论；（2）先确定a的范围，再分类讨论，确定f（x）的单调性，从而可得f（x）的零点个数．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．