【题目】如图，正三棱柱ABC A 1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC 的中点．

（1） 求证：AD⊥平面B1BC C1；

（2） 求证：A 1B//平面ADC1；

（3） 求三棱锥C1 ADB1的体积．

参考答案：

【答案】（1）证明略．（2）证明略．（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用线面垂直的性质，可得由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（2）连接，交于点，连接，利用为中位线，可得，利用线面的平行的判定定理，可证平面；（3）利用等体积，根据棱锥的体积公式可得结论.

试题解析：（1）证明：是正三棱柱，平面，

平面是正三角形，为中点，，

平面.

证明：连接，交于点，连接，由是正三棱柱，得四边形为矩形，为的中点，又为中点，为中位线，平面平面，平面.

(3) .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.

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