Question

【题目】已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn ， S4=30，过点P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ， 证明：对于任意n∈N* ， 都有Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=30，

过点P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1），

∴ ，

解得 ，q=4，

∴an= ．

（2）解：∵bn= = = （ ﹣ ），

∴数列{bn}的前n项和：

Tn= （ + + +…+ + ）

= （ ﹣ ）

= （ + ﹣ ﹣ ）

＜ ．

∴对于任意n∈N*，都有Tn

【解析】（1）利用等比数列前n项和公式及直线的方向向量性质列出方程组，由此能求出首项和公比，从而能求出数列{an}的通项公式．（2）由bn= = （ ﹣ ），利用裂项法能证明对于任意n∈N* ， 都有Tn ．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．