Question

【题目】已知多面体ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA1⊥平面ABC，四边形A1ACC1为直角梯形，CC1与平面ABC所成的角为 ，AA1=1

（1）若P为AB的中点，求证：A1P∥平面BC1C；
（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，AA1平面A1ACC1，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

过C1作C1D⊥AC于D，∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴C1D⊥平面ABC，

∴CD是CC1在平面ABC内的射影，

∴∠C1CD是CC1与平面ABC所成角，∴ ，

∴CD=C1D=AD=A1C1=1，

取BC中点F，连结PF，由题意得PF∥AC，且PF= AC，

又A1C1∥AC，A1C1= ，∴A1C1∥PF，且A1C1=PF，

∴四边形A1C1PF为平行四边形，∴A1P∥C1F，

∵C1F平面BC1C，A1P平面BC1C，

∴A1P∥平面BC1C．

（2）解：连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A1（0，﹣1，1），B（ ），C1（0，0，1），C（0，1，0），

∴ =（0，1，0）， =（ ），

设平面A1BC1的一个法向量为 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，0， ），

=（﹣ ，1，0）， =（﹣ ，0，1），

设平面BC1C的一个法向量 =（a，b，c），

则 ，取a=1，得 =（1， ， ），

cos＜ ， ＞= = = ，

根据图形得二面角A1﹣BC1﹣C的产面角为钝角，

∴二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）推导出平面A1ACC1⊥平面ABC，过C1作C1D⊥AC于D，则C1D⊥平面ABC，∠C1CD是CC1与平面ABC所成角，取BC中点F，推导出四边形A1C1PF为平行四边形，从而A1P∥C1F，由此能证明A1P∥平面BC1C．（2）连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．