Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（1）求证：a，b，c成等比数列；
（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC

∴sinB（ ）=

∴sinB =

∴sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinc

∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，

∵A+B+C=π

∴sin（A+C）=sinB

即sin2B=sinAsinC，

由正弦定理可得：b2=ac，

所以a，b，c成等比数列．

（2）解：若a=1，c=2，则b2=ac=2，

∴ ，

∵0＜B＜π

∴sinB=

∴△ABC的面积

【解析】（1）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证（2）由已知结合余弦定理可求cosB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S= 可求．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的基本性质({an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列)．