Question

【题目】设函数f（x）=ex+ax2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上单调，且y=f′（x）有零点，求a的值；
（2）若对x∈[0，+∞），有 ≥1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex+2ax，

记g（x）=ex+2ax，则g′（x）=ex+2a，

①a=0时，f（x）=ex，显然不合题意；

②a＞0时，g′（x）＞0，f′（x）在R递增，

∵f′（0）=1＞0，f′（﹣ ）＜0，

故y=f′（x）有唯一零点x1，显然x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，

x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在R不单调，不合题意；

③a＜0时，由g′（x）=0得x=ln（﹣2a），于是f′（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））递减，

在（ln（﹣2a），+∞）递增，因此要满足条件，必须且只需f′[ln（﹣2a）]=0，

即﹣2a+2aln（﹣2a）=0，解得：a=﹣

（2）解：a＜0时，若x＞﹣ ，则ax+1＜0，根据指数函数和幂函数的增长速度知：

存在x0，当x＞x0时，必有ex＞﹣ax2，即ex+ax2＞0，

因此x＞max{﹣ ，x0}，有 ＜0，显然不合题意，

当a≥0时，记h（x）=ex+ax2﹣ax﹣1，则 ≥1当且仅当h（x）≥0，

h′（x）=ex+2ax﹣a，显然h′（x）在[0，+∞）递增，

①a≤1时，由h′（0）=1﹣a＜1，h′（1）=e+a＞0，

得h′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1个实数根，

不妨设该实根为x1，当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（0，x1）递减，

故x∈（0，x1）时，h（x）＜h（0）=0，不合题意，

综上，a的范围是[0，1]

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性以及函数的零点求出a的值即可；（2）通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出函数的最值，从而确定满足条件的a的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．