Question

【题目】已知函数 的图象过点P（0，2），且在点M（－1， ）处的切线方程 。
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 与 的图像有三个交点，求a的取值范围。

Answer 1

【答案】
（1）由 的图象经过点P(0,2)，知d=2。

所以 ，则

由在 处的切线方程是 知 ，即 。所以3-2b+c=6,-1+b-c+2=1解得b=c=-3。

故所求的解析式是 。

（2）因为函数g(x)与 的图像有三个交点

所以 有三个根

即 有三个根

令 ，则 的图像与y=a图像有三个交点。

接下来求 的极大值与极小值（表略）。 的极大值为 的极小值为2

因此

【解析】分析：（1）将点P(0,2)代入函数解析式可得d的值，将 代入直线 可得 的值，再由切线方程可知切线的斜率为6，由导数的几何意义可知即 ，解由 和 组成的方程组可得b,c的值。（2）可将问题转化为 有三个不等的实根问题，将 整理变形可得 ，令 ，则 的图像与y=a图像有三个交点。然后对函数 求导，令导数等于0求其根。讨论导数的符号，导数正得增区间，导数负得减区间，根据函数的单调性得函数的极值，数形结合分析可得出a的取值范围。