Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣e﹣x ， 下列命题正确的有 ． （写出所有正确命题的编号）
①f（x）是奇函数；
②f（x）在R上是单调递增函数；
③方程f（x）=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，那么k的最大值为2．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、f（x）=ex﹣e﹣x ， 定义域是R，且f（﹣x）=e﹣x﹣ex=﹣f（x），f（x）是奇函数；故①正确；
对于②、若f（x）=ex﹣e﹣x ， 则f′（x）=ex+e﹣x＞0，故f（x）在R递增；故②正确；
对于③、f（x）=x2+2x，令g（x）=ex﹣e﹣x﹣x2﹣2x，
令x=0可得，g（0）=0，即方程f（x）=x2+2x有一根x=0，
g（3）=e3﹣ ﹣13＜0，g（4）=e4﹣ ﹣20＞0，
则方程f（x）=x2+2x有一根在（3，4）之间，
故③错误；
对于④、如果对任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞kx，即ex﹣e﹣x﹣kx＞0恒成立，
令h（x）=ex﹣e﹣x﹣kx，且h（0）=0，
若h（x）＞0恒成立，则必有h′（x）=ex+e﹣x﹣k＞0恒成立，
若ex+e﹣x﹣k＞0，即k＜ex+e﹣x=ex+ 恒成立，
而ex+ ≥2，若有k＜2，
故④正确；
综合可得：①②④正确；
所以答案是：①②④．
【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．