Question

【题目】如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O 为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad．

（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；

（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

Answer 1

【答案】（1） S（x）＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．（2）

【解析】

试题分析：（1） 根据扇形面积公式得S扇形AOC＝＝800x ，根据三角形面积公式得S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin（π－x）＝1600sinx，从而S（x）＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，定义域为

0＜x＜π（2）利用导数求函数最值：先求导数S′（x）＝1600cosx＋800＝1600（cosx＋），再求导函数零点x＝，最后列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性变化规律，进而得极大值，也是最大值

试题解析：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，

所以 扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面积S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin（π－x）＝1600sinx．

从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

（2）由（1）知， S（x）＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′（x）＝1600cosx＋800＝1600（cosx＋）．

由 S′（x）＝0，解得x＝．

从而当0＜x＜时，S′（x）＞0；当＜x＜π时， S′（x）＜0 ．

因此 S（x）在区间（0，）上单调递增；在区间（，π）上单调递减．

所以 当x＝，S（x）取得最大值．

答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．