Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上不恒为0的函数，且对于任意的实数a，b满足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），an= （n∈N*），bn= （n∈N*），给出下列命题：
①f（0）=f（1）；
②f（x）为奇函数；
③数列{an}为等差数列；
④数列{bn}为等比数列．
其中正确的命题是 ． （写出所有正确命题的序号）

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：∵取a=b=0，可得f（0）=0，
取a=b=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
∴f（0）=f（1），
即①正确；
令a=b=﹣1，则f（1）=﹣f（﹣1）﹣f（﹣1）=0f（﹣1）=0，
令a=﹣1，则f（﹣b）=﹣f（b）+bf（﹣1）=﹣f（b）f（x）为奇函数，
即②正确；
∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2n）=f（22n﹣1）=2f（2n﹣1）+2n﹣1f（2）
=2f（2n﹣1）+2n=…=n2n ，
∴an= =n，bn= =2n ，
即有③④正确．
所以答案是：①②③④．
【考点精析】通过灵活运用数列的通项公式，掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．