Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣ ．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）若C1上的点P对应的参数为t= ，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： （α为参数）距离的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C1的参数方程为 （t为参数），

∴ ，

∴曲线C1的普通方程为（x+4）2+（y﹣3）2=1．

∵曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣ ，

∴ρ2+8ρ2sin2θ=36，∴x2+y2+8y2=36，

∴曲线C2的直角坐标方程为 =1

（2）解：∵C1上的点P对应的参数为t= ，∴P（﹣4，4），

∵Q为C2上的动点，∴Q（6cosθ，2sinθ），

∴PQ中点M（﹣2+3cosθ，2+sinθ），

∵直线C3： （α为参数），

∴C3为直线x+ y+6 =0，

∴点M到C1的距离：

d= =|4 |，

∴当sin（ ）=﹣1时，PQ中点M到直线C3： （α为参数）距离的最小值：

dmin=3 ﹣1

【解析】（1）曲线C1的参数方程中利用sin2t+cos2t=1，消去参数t，能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程中利用ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ，能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）先求出P（﹣4，4），Q（6cosθ，2sinθ），从而求出PQ中点M的坐标，再求出直线C3的直角坐标方程，由此利用点到直线的距离公式能求出PQ中点M到直线C3的距离的最小值．