Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，直线l过点P（1，2）．

（1）若直线l在x轴和y轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）求坐标原点O到直线l距离取最大值时的直线l的方程；

（3）设直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A，B两点，当|PA||PB|最小时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y=2x，x+y=3（2）x+2y-5=0（3）x+y-3=0

【解析】

（1）直线l经过原点时满足条件，可得方程为：y＝2x．直线l不经过原点时，设方程为：x+y＝a，把点P的坐标代入即可得出a．

（2）坐标原点O到直线l距离取最大值时，直线l⊥OP．可得：kOP＝2，kl．利用点斜式即可得出．

（3）设直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣1），k＜0．可得A（1，0），B（0，2﹣k）．利用两点之间的距离公式可得|PA||PB|，再利用基本不等式的性质即可得出．

（1）直线l经过原点时满足条件，可得方程为：y＝2x．

直线l不经过原点时，设方程为：x+y＝a，可得：a＝1+2＝3．

可得方程为：x+y＝3．

综上可得：直线l的方程为：y＝2x，x+y＝3．

（2）坐标原点O到直线l距离取最大值时，直线l⊥OP．

可得：kOP＝2，∴kl．

∴坐标原点O到直线l距离取最大值时的直线l的方程为：y﹣2（x﹣1），化为：x+2y﹣5＝0．

（3）设直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣1），k＜0．

可得A（1，0），B（0，2﹣k）．

|PA||PB|4，

当且仅当k＝﹣1时取等号．

此时直线l的方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），化为：x+y﹣3＝0．