Question

【题目】已知双曲线方程为.

（1）求以定点为中点的弦所在的直线方程；

（2）以定点为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，运用点差法可得所求直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程；

（2）假设定点为中点的弦存在，设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，，运用中点坐标公式和直线的斜率公式，结合点差法，求得直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程，代入双曲线的方程，检验判别式是否大于0，即可判断是否存在．

解：（1）设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，，

可得，，①

由端点在双曲线上，可得，，

两式相减可得，

将①代入上式，

可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为

，

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，

即为，

代入双曲线的方程可得，

由，可得所求直线存在，

即有所求直线的方程为；

（2）假设定点为中点的弦存在，

设以定点为中点的弦的端点坐标为，，，，

可得，，②

由端点在双曲线上，可得，，

两式相减可得，

将②代入上式，

可得以定点为中点的弦所在的直线斜率为

，

则以定点为中点的弦所在的直线方程为，

即为，

代入双曲线的方程可得，

由，可得所求直线不存在，

以定点为中点的弦不存在．