Question

【题目】已知函数f（x），若在定义域内存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；
（2）是否存在常数m，使得函数f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（﹣x）=﹣ax3+bx2﹣cx﹣b，
代入f（﹣x）=﹣f（x） 得ax3+bx2+cx﹣b﹣ax3+bx2﹣cx﹣b=0得到关于x的方程2bx2﹣2b=0，b≠0时，x=±1
当b=0，x∈R等式恒成立，
所以函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；
（2）∵f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3
∴f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，
由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），
于是 4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，
令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：
，解得，
化简得≤m≤2．
【解析】（1）根据定义构造方程，再判断方程是否有解，问题得以解决．
（2）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x ， 方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可。