Question

【题目】已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）在[ ， ]有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2），证明：g（x1）﹣g（x2）的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=1 时，f′（x）==
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，+∞），f′（x）＞0．
∴f（x）在x=2时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）=﹣2ln2
（Ⅱ）∵f′（x）=x﹣+（a﹣2）==
∴（1）当﹣2＜a≤0时，若x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（﹣a，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当a=﹣2时，x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数；
（3）当a＜﹣2时，x∈（0，2）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（2，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数
（Ⅲ）证明：假设存在实数a使得对任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立，
不妨设0＜x1＜x2 ， 只要 ＞a，即：f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1
令g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数
又函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2x．
考查函数g′（x）=x﹣﹣2）==
要使g′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要﹣1﹣2a≥0，即a≤﹣，
故存在实数a∈（﹣∞，﹣]时，对任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立
【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，当a=1 时，求出f′（x），判断函数的单调性，求解函数的最小值即可．
（Ⅱ）化简求解f′（x）= ， 通过（1）当﹣2＜a≤0时，（2）当a=﹣2时，（3）当a＜﹣2时，分别求解函数的单调性即可．
（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的 x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 有 ＞a恒成立，转化方程为f（x2）﹣ax2＞f（x1）﹣ax1构造g（x）=f（x）﹣ax，只要 g（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数求解函数的最小值，导函数的符号，判断证明即可。
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．