Question

【题目】已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（﹣ ， 0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴方向上的投影为 ．
（1）求函数f（x）的解析式及单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移得到函数g（x）的图象，已知g（α）= ， α∈（﹣ ， 0），求g（α+）的值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵如图所示，A（﹣，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，
∴根据对称性得出：最大值点的横坐标为，
∴=+，T=π，
∵T=，
∴ω=2，
∵A（﹣，0）在函数图象上，
∴sin（﹣+φ）=0，解得：﹣+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+，k∈z，
∴φ=，故可得函数f（x）的解析式为：y=sin（2x+）．
∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z即可解得单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．
（2）∵由题意可得：g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x．
∴g（α）=cos2α=，
∵α∈（﹣，0），
∴2α∈（﹣，0），可得sin2α=﹣，
∴g（α+）=cos（2α+）=cos2αcos﹣sin2αsin=x﹣（﹣）×=．
【解析】（1）根据函数想性质得出最大值点的横坐标为 ， A（﹣ ， 0），得出周期T=π，T= ， 即可ω，运用A（﹣ ， 0），sin（﹣+φ）=0，得出φ=kπ+ ， k∈z，即可求解函数解析式，由2kπ+≤2x+≤2kπ+ ， k∈Z即可解得单调递减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），结合角的范围可求cos2α，sin2α，利用两角和的余弦函数公式即可求值。
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识点，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象才能正确解答此题．