Question

【题目】已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数t>0，那么该函数在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

(1)已知f(x)＝，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；

(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)＝－x－2a，若对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，求实数a的值．

Answer 1

【答案】(1) [－4，－3] ;(2) a＝

【解析】试题分析：（1）f(x)＝＝，换元后

结合所给性质易得所求；（2）对任意x1∈[0,1]，总存在x2∈[0,1]，使得g(x2)＝f(x1)成立等价于f(x)的值域是g(x)的值域的子集.

试题解析：

(1)y＝f(x)＝＝，

设u＝2x＋1，x∈[0,1]，1≤u≤3，

则y＝u＋－8，u∈[1,3]．

由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f(x)单调递减；

所以减区间为[0， ]；

当2≤u≤3，即≤x≤1时，f(x)单调递增；

所以增区间为[，1]；

由f(0)＝－3，f()＝－4，f(1)＝－，

得f(x)的值域为[－4，－3]．

(2)g(x)＝－x－2a为减函数，

故g(x)∈[－1－2a，－2a]，x∈[0,1]．

由题意，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，

∴ ∴a＝.