Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB= ， 求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
证明：（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，BE，BD．
∵PA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，
∴△PAD和△ABD为两个全等的等边三角形，
则PE⊥AD，BE⊥AD，∴AD⊥平面PBE，
又PB平面PBE，∴PB⊥AD；
（Ⅱ）解：在△PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2 ，
∴∠PEB=90°，即PE⊥BE，又PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD；
以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则E（0，0，0），C（﹣2，，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），
则=（1，0，），=（﹣1，，0），
由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；
设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），
由 得：，
令y=1，则x=，z=﹣1，∴=（，1，﹣1）；
则=1，∴cos＜,＞===，
由题意知二面角A﹣PD﹣C的平面角为钝角，
所以，二面角A﹣PD﹣C的余弦值为﹣

【解析】（Ⅰ）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD．证明AD⊥平面PBE，然后证明PB⊥AD；
（Ⅱ）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为 ， 利用向量的数量积求解二面角A﹣PD﹣C的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．