Question

【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且a2=8，S4=40．数列{bn}的前n项和为Tn ， 且Tn﹣2bn+3=0，n∈N* ．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn= ， 求数列{cn}的前n项和Pn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得，
解得，
∴an=4n，
∵Tn﹣2bn+3=0，∴当n=1时，b1=3，当n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，
两式相减，得bn=2bn﹣1 ， （n≥2）
则数列{bn}为等比数列，
∴；
（Ⅱ） ．
当n为偶数时，Pn=（a1+a3+…+an﹣1）+（b2+b4+…+bn）
=．
当n为奇数时，
（法一）n﹣1为偶数，Pn=Pn﹣1+cn=2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1，
（法二）Pn=（a1+a3+…+an﹣2+an）+（b2+b4+…+bn﹣1）
=．
∴ ．
【解析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an ， 运用n=1时，b1=T1 ， n＞1时，bn=Tn﹣Tn﹣1 ， 求出bn；
（Ⅱ）写出cn ， 然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对等差数列的性质的理解，了解在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．