Question

【题目】某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）（39﹣2x），（x∈N* ， 且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=
（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；
（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当x=1时，f（1）=p（1）=37，
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）=x（x+1）（39﹣2x）﹣（x﹣1）x（41﹣2x）=﹣3x2+40x．
验证x=1符合f（x））=﹣3x2+40x（x∈N* ， 且1≤x≤12））
（Ⅱ）第x月旅游消费总额为g（x）=（x∈N*）
即g（x）=（x∈N*）
当1≤x≤6，且x∈N*时，g′（x）=18x2﹣370x+1400，令g′（x）=0，解得x=5，x=（舍去）．
∴当1≤x＜5时，g′（x）＞0，当5＜x≤6时，g′（x）＜0，
∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）．
当7≤x≤12，且x∈N*时，g（x）=﹣480x+6400是减函数，∴当x=7时，g（x）max=g（7）=3040（万元），
综上，2013年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元
【解析】（Ⅰ）根据所给的前x个月旅游人数的和，可以得到第x个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数符合表示式．
（Ⅱ）根据所给的表示式，写出第x月旅游消费总额，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到最大月旅游消费总额．