Question

【题目】设集合A＝{x|(x－3)(x＋a)<0，a∈R}，集合B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}．

(1)若A∩B的子集个数为4，求a的范围；

(2)若a∈Z，当A∩B≠时，求a的最小值，并求当a取最小值时A∪B.

Answer 1

【答案】(1) -1＜a≤0 (2) a的最小值为－1. A∪B＝{0}∪{x|1≤x≤3}．

【解析】试题分析: （1）先求集合B,根据A∩B的子集个数为4得A∩B有两个元素，结合数轴可得A∩B＝{1，2}，因此－1<a≤0（2）结合数轴可得a>－2，再根据a∈Z，得a的最小值为－1.再根据数轴求集合并集

试题解析:解：(1)因为B＝{x∈Z|x2－3x－4<0}＝{x∈Z|－1<x<4}＝{0，1，2，3}．

若－a>3，即a<－3时，A＝{x|3<x<－a}．

此时，A∩B＝，则A∩B子集的个数为1，不合题意．

若－a＝3，即a＝－3时，A＝，A∩B＝，则A∩B子集的个数为1，不合题意．

若－a<3，即a>－3，此时A＝{x|－a<x<3}．

由A∩B的子集个数为4知，A∩B中有2个元素．所以0≤－a<1，即－1<a≤0，此时，A∩B＝{1，2}，有4个子集，符合题意．

(2)由(1)知，B＝{0，1，2，3}，且当a≤－3时，A∩B＝.

故a>－3，此时A＝{x|－a<x<3}．

要使A∩B≠，则－a<2.

即a>－2，又a∈Z，所以a的最小值为－1.

当a＝－1时，A＝{x|1<x<3}．

所以A∪B＝{x|1<x<3}∪{0，1，2，3}＝{0}∪{x|1≤x≤3}．