Question

【题目】如图，四棱锥的底面为菱形 且∠ABC＝120°，PA⊥底面ABCD，AB＝2，PA＝，

（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；

（2）求三棱锥P--BDC的体积。

（3）在线段PC上是否存在一点E，使PC⊥平面EBD成立．如果存在，求出EC的长；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1；（3） ．

【解析】试题分析：

（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，也即要证线线垂直，由菱形可得，又由平面得，从而可得直线与平面垂直，从而得证面面垂直；

（2）三棱锥的底面是，高为，由体积公式可得体积；

（3）假设存在，由线面垂直可得线线垂直，设，则，在中由相似三角形可求得长，反之只要有，就可得平面．

试题解析：

(1) 略证:通过证BD⊥AC,BD⊥PA,得出BD⊥平面PAC,又BD在平面PBD内,所以平面PBD⊥平面PAD

(2)

(3)假设存在，设，则 ，Δ ∽ΔCPA , .