Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1．

（1）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
（2）在线段CP上是否存在一点E，使得DE⊥PB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A为坐标原点，以AB，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，2），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），D（﹣ ， ，0）．

∴ =（0，2，﹣2）， =（1，0，﹣2）， =（0，2，0）．

显然 =（0，2，0）为平面PAB的法向量．

设平面PBC的法向量为 =（x，y，z），

则 ， =0，

∴ ，令z=1，得 =（2，1，1）．

∴ =2，| |= ，| |=2．

∴cos＜ ， ＞= = ．

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为

（2）解：过E作EF⊥AC于F，∴EF∥PA，∴EF=FC．

设EF=h，则E（0，2﹣h，h）．

∴ =（ ， -h，h）， =（1，0，﹣2）．

∵DE⊥PB，∴ = ﹣2h=0，解得h= ．

∴CE= h= ．

【解析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，则法向量的夹角与二面角的大小相等或互补；（2）作EF⊥AC于F，则EF=FC，设EF=h，求出E点坐标得出 的坐标，令 =0解出h，从而得出CE．