Question

【题目】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，已知点是抛物线的焦点，点到抛物线准线的距离是.

（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）若是抛物线上的一点且在第一象限，满足，直线交椭圆于两点，且，当的面积取得最大值时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（2）或

【解析】试题分析：（1）根据椭圆与抛物线几何条件列方程组，解得，得即得结果.（2）先根据抛物线定义求出B点坐标，确定MN斜率，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得底边边长，根据点到直线距离公式得高，代入三角形面积公式得的面积函数关系式，最后根据二次函数最值求法确定直线的方程.

试题解析：（1）由题意可列方程组：

，解得，所以.

从而椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（2）可设，抛物线的准线方程为，

由抛物线的定义得： ，解得，

所以，因为点在第一象限，所以.

从而.由于，所以，

的方程可设为： ，即： .

设，

联立方程组，消去得： ，

可得，

整理为，解得： .

∴， .

所以

点到直线的距离.

所以

当时，即： 时的面积取得最大值.

此时的方程为或.