Question

【题目】在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为,圆M是△ABC的外接圆，直线的方程是，

（1）求圆M的方程；

（2）证明：直线与圆M相交；

（3）若直线被圆M截得的弦长为3，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）y=1，或x=1

【解析】

试题分析：（1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程；（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交；（3）由条件利用弦长公式求得圆心到直线l的距离为．再根据据点到直线的距离公式求得 m的值，可得直线l的方程

试题解析：（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x=，

线段AC的垂直平分线为 y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），

故圆的半径为|MC|==，

故圆M的方程为+=．

（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y﹣1=0，

由可得，故直线经过定点N（1，1）．

由于MN==＜r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．

（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，故圆心M（，）到直线l的距离为d==．

再根据=，求得 m=﹣2，或m=，

故直线l的方程为y=1，或x=1．