Question

【题目】已知函数f (x)＝ex－ax－1，其中e为自然对数的底数，a∈R．

（1）若a＝e，函数g (x)＝(2－e)x．

①求函数h(x)＝f (x)－g (x)的单调区间；

②若函数的值域为R，求实数m的取值范围；

（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝f(x2)，且|x1－x2|≥1，

求证：e－1≤a≤e2－e．

Answer 1

【答案】（1）[0， ]．（2）e－1≤a≤e2－e．

【解析】试题分析：（1）①由，得到函数，求得，利用， ，即可求解函数的单调区间；②由，得出函数的单调区间，分和分离讨论，即可求解实数的取值范围；

（2）由，若时， ，函数单调递增，不符合题意，

当时，得出的单调性，不妨设时，有 ，利用函数的单调性得到，列出不等式组，即可求解范围。

试题解析：

（1）当a＝e时，f (x)＝ex－ex－1．

① h (x)＝f (x)－g (x)＝ex－2x－1，h′ (x)＝ex－2．

由h′ (x)＞0得x＞ln2，由h′ (x)＜0得x＜ln2．

所以函数h(x)的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．

② f ′ (x)＝ex－e．

当x＜1时，f′ (x)＜0，所以f (x)在区间(－∞，1)上单调递减；

当x＞1时，f′ (x)＞0，所以f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．

1° 当m≤1时，f (x)在(－∞，m]上单调递减，值域为[em－em－1，＋∞)，

g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)，

因为F(x)的值域为R，所以em－em－1≤(2－e)m，

即em－2m－1≤0． （*）

由①可知当m＜0时，h(m)＝em－2m－1＞h(0)＝0，故（*）不成立．

因为h(m)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h(0)＝0，h(1)＝e－3＜0，

所以当0≤m≤1时，h(m)≤0恒成立，因此0≤m≤1．

2° 当m＞1时，f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，m]上单调递增，

所以函数f (x)＝ex－ex－1在(－∞，m]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．

g(x)＝(2－e)x在(m，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m)．

因为F(x)的值域为R，所以－1≤(2－e)m，即1＜m≤．

综合1°，2°可知，实数m的取值范围是[0，]．

（2）f ′ (x)＝ex－a．

若a≤0时，f ′ (x)＞0，此时f(x)在R上单调递增．

由f(x1)＝f(x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，

所以a＞0，且f(x)在(－∞，lna]单调递减，在[lna，＋∞)上单调递增．

若x1，x2∈(－∞，lna]，则由f (x1)＝f (x2)可得x1＝x2，与|x1－x2|≥1相矛盾，

同样不能有x1，x2∈[lna，＋∞)．

不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2．

因为f(x)在(x1，lna)上单调递减，在(lna，x2)上单调递增，且f (x1)＝f (x2)，

所以当x1≤x≤x2时，f (x)≤f (x1)＝f (x2)．

由0≤x1＜x2≤2，且|x1－x2|≥1，可得1∈[x1，x2]，

故f (1)≤f (x1)＝f (x2)．

又f (x)在(－∞，lna]单调递减，且0≤x1＜lna，所以f (x1)≤f (0)，

所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．

即解得e－1≤a≤e2－e－1，

所以 e－1≤a≤e2－e．