Question

【题目】已知函数f（x）= （a、b为常数），且f（1）= ，f（0）=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；
（3）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m4x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 ， ，

解得a=1，b=﹣1，

所以 ；

（2）函数f（x）为奇函数．

证明如下：f（x）的定义域为R，

∵ ，

∴函数f（x）为奇函数；

（3）解：∵ ，∴ ，

∴2x﹣1＜m4x

∴ =g（x），

故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m4x恒成立等价于m＞g（x）max

令 ，则y=t﹣t2 ，

则当 时

故 ，

即m的取值范围为 ．

【解析】（1）运用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；（2）函数f（x）为奇函数．运用奇函数的定义，即可得证；（3）f（x）（2x+1）＜m4x恒成立，即为2x﹣1＜m4x ， 运用参数分离和换元法，结合指数函数和二次函数的值域，可得右边的最大值，即可得到m的范围．