【题目】已知定义域为的函数存在两个零点.

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求证： .

参考答案：

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）分离参数得，借助函数的图象进行求解；（2）由于，则在区间上单调递增， ，故只需证明即可。由题知且，不妨设，则，构造，只需证明即可，利用导数的知识可求解。

试题解析：

（1）由.得。

令，则，

当变化时， 及的变化情况如下表：

-

0

+

减

最小

增

由表可知，当时， 有极小值，也为最小值，且最小值为，

当时， ； 时， ，

∴

故在区间上存在两个零点时， 的取值范围为.

（2）∵， ∴ ，

又，

∴ ，

令，

则，

由题知且，不妨设，则，

∴时， ，

∴在单调递减，

∴时， ，

∴，

又，

∴ ，即，

∴，

∵在区间上单调递增，

∴，得证.

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