Question

【题目】已知函数f（x）= 是奇函数，且f（2）=﹣
（1）求函数f（x）的解析式
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= 是奇函数，3x≠q．

∴f（﹣x）+f（x）= + =0，化为：q（px2+2）=0，对于定义域内的任意实数x都成立，则q=0．

又f（2）=﹣ ，∴ =﹣ ，解得p=2．

∴f（x）= = ，（x≠0）

（2）解：函数f（x）在（0，1）上的单调递增．

证明：0＜x1＜x2＜1，

则f（x1）﹣f（x2）= + = × ，

∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，0＜x1x2＜1，

∴ ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在（0，1）上的单调递增

【解析】（1）利用奇函数的性质可得：f（﹣x）+f（x）=0，与f（2）=﹣ 联立解出p，q即可得出．（2）函数f（x）在R上单调递增．下面给出证明分析：0＜x1＜x2＜1，只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)．