Question

【题目】已知函数f(x)＝.(a>0)

(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；

(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)证明：当x≥1时，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0；

当x<1时，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且此时f(x)>0.

所以y＝f(x)在R上单调递减．

(2)若x≥a，则f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，

所以此时f(x)单调递减，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，

则g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)<g(1)＝0，

即f(x)≤f(a)<0，故f(x)在[a，＋∞)上无零点．

当x<a时，f′(x)＝ex－1＋a－2，

①当a>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此时f(x)在上有一个零点．

②当a＝2时，f(x)＝ex－1，此时f(x)在(－∞，2)上没有零点．

③当1<a<2时，令f′(x0)＝0，解得x0＝ln(2－a)＋1<1<a，所以f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，a)上单调递增．

f(x0)＝e＋(a－2)x0＝e (1－x0)>0，

所以此时f(x)没有零点．

综上，当1<a≤2时，f(x)没有零点；当a>2时，f(x)有一个零点．