Question

【题目】已知函数f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．

(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；

(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)若a＝0，f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x.

∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

(2)由题意知f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．

①若a＝0，则f(x)＝xln x－x＋1，f′(x)＝ln x>0在x∈(1，＋∞)上恒成立，∴f(x)为(1，＋∞)上的增函数，∴f(x)>f(1)＝0，即f(x)<0不成立．∴a＝0不合题意．

②若a≠0，∵x>1，∴只需＝ln x－<0在(1，＋∞)上恒成立．

记h(x)＝ln x－，x∈(1，＋∞)，

则h′(x)＝－＝－，x∈(1，＋∞)．

由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.

若a<0，则x2＝<1＝x1，

∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数，

∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．

若0<a<，x∈时，h′(x)>0，h(x)为增函数，

∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，

若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，

∴h(x)<h(1)＝0，符合题意．

综上所述，若x>1时，f(x)<0恒成立，则a≥.