Question

【题目】已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.

设g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程g(x)＝0, 判别式Δ＝a2－8.

①当Δ＝a2－8<0，即0<a<2时，对一切x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值点．

②当Δ＝a2－8＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上也是增函数，无极值点．

③当Δ＝a2－8>0，即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实数根x1＝，x2＝，0<x1<x2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(0，x1)	x1	(x1，x2)	x2	(x2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		f(x1)		f(x2)

此时f(x)在(0，)上是增加的，在(，)上是减少的，在(，＋∞)上是增加的．x1＝是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点．