Question

【题目】设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．

求：（1）集合的“和谐子集”的个数；

（2）集合的“和谐子集”的个数．

Answer 1

【答案】（1）的“和谐子集”的个数等于4．（2）

【解析】

（1）由集合的子集可得：集合A1的“和谐子集”为：：，{3}，共4个，

（2）由即时定义的理解，分类讨论的数学思想方法可得：讨论集合An+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}中的“和谐子集”的情况，以新增元素3n+1，3n+2，3n+3为标准展开讨论即可得解

（1）集合的子集有：，，，，，，，．

其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，，，．

所以的“和谐子集”的个数等于4．

（2）记的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；

另记有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数

倍余2的子集．

由（1）知，．

集合的“和谐子集”

有以下四类（考查新增元素）：

第一类 集合…，的“和谐子集”，共个；

第二类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；

同时含两个元素的“和谐子集”，共个；

同时含三个元素的“和谐子集”，共个；

第三类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；

同时含两个元素的“和谐子集”，共个；

第四类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；

同时含有两个元素的“和谐子集”，共个，

所以集合的“和谐子集”共有个．

同理得，．

所以，，

所以数列是以2为首项，公比为2 的等比数列．

所以．同理得．

又，所以．