Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，对称轴为直线的抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，作直线.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连结.当面积最大时，求点的坐标；

（3）如图，在（2）的条件下，过点作于点交轴于点将绕点旋转得到在旋转过程中，当点或点落在轴上(不与点重合)时，将沿射线平移得到，在平移过程中，平面内是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)；(3) 所有符合条件的点坐标为或

【解析】

(1)分别根据对称轴方程,再代入点的坐标进行求解即可.

(2) 过作轴交于,进而根据表达出关于的横坐标的表达式,再根据二次函数的最值求解即可.

(3)分两种情况,设平移的距离为,再根据菱形满足即可求得,进而根据菱形的性质可求得

抛物线对称轴为.

且点的坐标为.点的坐标为

.解得

抛物线的解析式为

(2)过作轴交于.设,

设的解析式为,则,解得.

故的解析式为.则

则

.

故当时,取最大值.此时

(3) 存在,所有符合条件的坐标为,.

提示：.

①当落在轴上时,如图,点,,

设平移距离是,则,.

由得 ,解得.

此时,,所以.

②当落在轴上时,如图,点,,

设平移距离是,则,.

由得 ,解得.

此时,,所以.

综上所述,所有符合条件的点坐标为或