Question

【题目】已知函数f（x）=的定义域为（-1，1），满足f（-x）=-f（x），且 ．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数；

（3）解不等式 .

Answer 1

【答案】(1)；（2）见解析.(3) 原不等式的解集为.

【解析】试题分析：（1）由题干知函数时奇函数根据可以求出b，已知，代入表达式求出a；（2）证明函数单调性，只能用定义证明，做差f（x1）-f（x2）和0比即可。（3）根据函数的奇偶性和单调性，直接将不等式转化为f（2x-1）＜f（-x），根据单调性比较括号内的表达式即可。

（1）f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=-f（x）；

∴f（x）为奇函数；

∴；

∴b=0，则；

∴；

∴a=1；

∴；

（2）证明：设-1＜x1＜x2＜1，则：

=；

∵-1＜x1＜x2＜1；

∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，＞0；

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在（-1，1）上是增函数；

（3）f（x）显然为奇函数；

∴由f（2x-1）+f（x）＜0得，f（2x-1）＜-f（x）；

∴f（2x-1）＜f（-x）；

由（1）知f（x）在（-1，1）上是增函数，则：

-1＜2x-1＜-x＜1，

解得；

∴原不等式的解集为．