Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调区间.

（Ⅱ）当时，设的两个极值点,恰为的零点，求的最小值.

Answer 1

【答案】(I)当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；(II).

【解析】

试题分析：（I）求出函数的导数，讨论的取值，利用导数判断函数的单调性与单调区间；（II）对函数求导数，利用极值的定义得出时存在两正根、；再利用判别式以及根与系数的关系，结合零点的定义，构造函数，利用导数即可求出函数的最小值．

试题解析：（Ⅰ）函数，，；

当时，由解得，即当时，，单调递增；

由解得，即当时，，单调递减；

当时，，即在上单调递增；

当时，，故，即在上单调递增；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为； ...（5分）

（Ⅱ），则，

的两根、即为方程的两根；

又，

，，； ...（7分）

又，为的零点，

，

两式相减得,

得,

而,

， ...（10分）

令，

由得，

因为，两边同时除以，得，

，故，解得或，； ...（12分）

设，

，则在上是减函数，

.

即的最小值为 ...（14分）