Question

【题目】（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为,右焦点为(,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:点O到直线AB的距离为定值.

Answer 1

【答案】(1) ,(2) O到直线 的距离为定值.

【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；

（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；

试题解析：(1)由右焦点为(,0),则 ,又离心率为,所以 , ，

则

(2) 设 , ,若k存在,则设直线AB:y=kx+m.

得

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离 ， 当AB的斜率不存在时, ,可得, 依然成立.所以点O到直线的距离为定值 .