Question

【题目】已知函数f（x）=x+ 的图象过点P（1，5）．
（1）求实数m的值，并证明函数f（x）是奇函数；
（2）利用单调性定义证明f（x）在区间[2，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解： 的图象过点P（1，5），

∴5=1+m，

∴m=4

∴ ，f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，

∴f（x）=﹣f（x），

f（x）是奇函数．

（2）证明：设x2＞x1≥2，

则

又x2﹣x1＞0，x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

即f（x）在区间[2，+∞）上是增函数

【解析】（1）代入点P，求得m，再由奇函数的定义，即可得证；（2）根据单调性的定义，设值、作差、变形、定符号和下结论即可得证．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的奇偶性是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．