Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|﹣ x，（a＞0）． （Ⅰ）若a=3，解关于x的不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+ 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x﹣3|﹣ x＜0， 即|x﹣3|＜ x，
两边平方得：（x﹣3）2＜ x2 ，
解得：2＜x＜6，
故不等式的解集是{x|2＜x＜6}；
（Ⅱ）f（x）﹣f（x+a）
=|x﹣a|﹣ x﹣|x|+ （x+a）
=|x﹣a|﹣|x|+ ，
若对于任意的实数x，不等式f（x）﹣f（x+a）＜a2+ 恒成立，
即|x﹣a|﹣|x|+ ＜a2+ 对x∈R恒成立，
即a2＞|x﹣a|﹣|x|，而|x﹣a|﹣|x|≤|（x﹣a）﹣x|=|a|，
原问题等价于|a|＜a2 ， 又a＞0，
∴a＜a2 ， 解得a＞1
【解析】（Ⅰ）将a的值带入f（x），两边平方求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）=|x﹣a|﹣|x|+ ，原问题等价于|a|＜a2 ， 求出a的范围即可．