Question

【题目】已知定点M（﹣ ），N是圆C：（x﹣ ）2+y2=16（C为圆心） 上的动点，MN的垂直平分线与NC交于点E．
（1）求动点E的轨迹方程C1；
（2）直线l与轨迹C1交于P，Q两点，与抛物线C2：x2=4y交于A，B两点，且抛物线C2在点A，B处的切线垂直相交于S，设点S到直线l的距离为d，试问：是否存在直线l，使得d= ？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意有：|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4，故动点E的轨迹为以M，C为焦点，长轴为4的椭圆．

于是： ，从而 ，故动点E的轨迹方程C1为：

（2）解：设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3）Q（x4，y4），由 ，

得：x2﹣4kx﹣4m=0，故x1+x2=4k，x1x2=﹣4m．

由x2=4y得： ，即切线斜率 ．

于是： ，

由PA⊥PB得； ，

解得：m=1，

这说明直线l过抛物线C2的焦点F，由 ，

得： 即S（2k，﹣1）．

于是：点S（2k，﹣1）到直线l：kx﹣y+1=0的距离 ，

由 得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，

从而 ，

同理：|AB|=4（1+k2），

由 得 ，

化简整理，得：28k4+36k2+7=0，此方程无解，

所以不存在直线l，使得

【解析】（1）由题意可知：：|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4，故动点E的轨迹为以M，C为焦点，长轴为4的椭圆，分别求得a、b和c的值，求得动点E的轨迹方程C1；（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得x1+x2及x1x2 ， 利用导数法求得直线PA和PB的斜率，由PA⊥PB，求得m的值，直线l过抛物线C2的焦点F，求得交点S的坐标，根据点到直线的距离公式，求得S到到直线l：kx﹣y+1=0的距离d，根据弦长公式求得丨PQ丨及|AB|，由 ，求得28k4+36k2+7=0，此方程无解，不存在直线l，使得 ．