Question

【题目】已知f（x）=ex（ax﹣1），g（x）=a（x﹣1），a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因f′（x）=ex（ax+a﹣1）．

所以，当a=0时，f′（x）＜0在R上恒成立，

即f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；

当a＞0时，f′（x）＞0的解为 ，

即f（x）在 上单调递增，在 上单调递减；

当a＜0时，f′（x）＞0的解为 ，

即f（x）在 上单调递增，在 上单调递减．

（2）解：

法一：当a=0时，f（x）=﹣ex，g（x）=0，

此时f（x）＜g（x）的解集为R，所以此情况舍去；

当a＜0时，f（0）=﹣1＜g（0）=﹣a，f（1）=e（a﹣1）＜g（1）=0，f（2）=e2（2a﹣1）＜g（2）=a．

可见f（x）＜g（x）的解集不仅仅两个整数解，此情况舍去；

当a＞0时，

由（1）可知f（x）的极值点为 ，

又f（0）=﹣1，g（1）=0， ，而且，f（x）仅有一个零点 ．

若 ，即a≥1时，

由（1）知f（x）的单调性，以及 ，

有f（x）与g（x）的草图如下：

因 ，

所以在（﹣∞，﹣1]上f（x）单调递减，g（x）单调递增，

所以 ．g（x）max=g（﹣1）=﹣2a，

所以在（﹣∞，﹣1]上f（x）＞g（x）恒成立．

又f（0）=﹣1＞g（0）=﹣a，在x∈[1，+∞）上，又a≥1，所以，ex＞1，ax﹣1≥0，

所以f（x）=ex（ax﹣1）＞ax﹣1=a（x﹣1）+a﹣1≥a（x﹣1）=g（x）

所以在a≥1时，在R上没有使得f（x）＜g（x）的整数解存在；

若 ，即o＜a＜1时，f（x）与g（x）的草图如下：

因为f（0）=﹣1＜﹣a=g（0），f（1）=e（a﹣1）＜0=g（1），

若 ，解得 ．

而由上知在（﹣∞，﹣1）上f（x）＞g（x）恒成立，

下证明在x∈[2，+∞）上， 时，f（x）≥g（x）恒成立，

令函数h（x）=f（x）﹣g（x），x∈[2，+∞），则h'（x）=ex（ax﹣1+a）﹣a，

因为x∈[2，+∞）， ，所以 ，

所以 ，

即h'（x）＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，

所以函数h（x）在[2，+∞）上单调递增，所以h（x）≥h（2）=（2e2﹣1）a﹣e2≥0

所以在x∈[2，+∞）上， 时，f（x）≥g（x）恒成立．

综上： ．

法二：若有且仅有两个整数xi（i=1，2），使得f（xi）＜g（xi）成立，

则a（xex﹣x+1）＜ex有两个整数解．

因为y=x（ex﹣1）+1，当x＞0时，ex﹣1＞0，x（ex﹣1）+1》＞0；

当x＜0时，ex﹣1＜0，x（ex﹣1）+1》＞0，

所以， 有两个整数解

设g（x）= ，则 ，

令h（x）=2﹣x﹣ex，则h′（x）=﹣1﹣ex《＜0，

又h（0）=1＞0，h（（1）=1﹣e＜0，

所以x0∈（0，1），使得h（x0）=0，

∴g（x）在为增函数，在（x0，+∞）为减函数，

∴ 有两个整数解的充要条件是：

，

解得：

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）法一：分别求出f（x）和g（x）的特殊值，通过a的范围，通过观察f（x），g（x）的图象求出a的范围即可；法二：分离参数，问题转化为 有两个整数解，得到关于a的不等式组，解出即可．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．