Question

【题目】如图，矩形ABCD 中，AD⊥平面ABE，AE=FB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC，BD交于G点

（1）求证：AE∥平面BFD
（2）求证：AE⊥平面BCE
（3）求三棱柱C﹣BGF的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题意可知：G是AC中点，

∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．

在△ABC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD

（2）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．

又∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，

∴AE⊥平面BCE

（3）∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCG，

∴FG⊥平面BCE，∴GF⊥平面BCF．

∵G是AC的中点，∴F是CE的中点，且FG= ，

∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．

∴在Rt△BCE中，BF=CF= ．

∴ ，

则 ．

【解析】（1）依题意可知G是AC中点，由BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，再由BC=BE，可得F是EC中点，得到FG∥AE，由线面平行的判定得AE∥平面BFD．（2）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，进一步得到AE⊥BC．结合BF⊥平面ACE，得CE⊥BF，由线面垂直的判定得AE⊥平面BCE；（3）由已知可得GF⊥平面BCF．解直角三角形求得△BCF的面积，然后利用等积法求得三棱柱C﹣BGF的体积．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．