Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，圆：与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆：与圆交于，两点.

（1）当时，求的长；

（2）当变化时，求的最小值；

（3）过点的直线与圆A切于点，与圆分别交于点，，若点是的中点，试求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】分析：（1）根据半径，得到圆A的标准方程；因为B、C是两个圆的交点，联立两个圆可得到两个交点坐标，利用两点间距离公式即可求得BC的长。

（2）根据圆A关于x轴对称，可设，代入到圆O中，用表示；根据向量数量积的坐标运算，得到，根据的取值范围即可得到的最小值。

（3）取的中点，连结，可知 与 相似，根据中点性质和勾股定理，在和中，联立方程求得r的值；设出直线方程，根据点到直线距离公式即可求出直线方程。

详解：（1）当 时，

由 得，

（2）由对称性，设，则

所以

因为，所以当时，的最小值为

（3）取的中点，连结，则

则，从而 ，不妨记，

在中即①

在中即②

由①②解得

由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为： ，由点A到直线 的距离等于

则，所以，从而直线的方程为