Question

【题目】如图，已知曲线，曲线， 是平面上一点，若存在过点的直线与都有公共点，则称为“型点”.

（1）证明： 的左焦点是“型点”；

（2）设直线与有公共点，求证： ，进而证明原点不是“型点”；

（3）求证： 内的点都不是“型点”.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意的左焦点为，过的直线与、交于，即可判定，得出直线方程；

（2）联立方程组和，根据方程有解，即可求解的范围，从而判断原点不是“型点”；

（3）以为边界的正方形区域记为，分点在的边界上，和是区域内的点，两种情况分类讨论，进而说明，联立方程组，得出，得出直线与曲线没有公共点，从而证得结论.

试题解析：

（1）的左焦点为，

过的直线与交于，与交于，故的左焦点为“型点”，且直线可以为；

（2）直线与有交点，则，

若方程组有解，则必须；

直线与有交点，则，

若方程组有解，则必须

故直线至多与曲线和中的一条有交点，即原点不是“型点”

（3）以为边界的正方形区域记为.

1）若点在的边界上，则该边所在直线与相切，与有公共部分，即边界上的点都是“型点”；

2）设是区域内的点，即，

假设是“型点”，则存在过点的直线与都有公共点.

ⅰ)若直线与有公共点，直线的方程化为，假设，则，

可知直线在之间，与无公共点，这与“直线与有公共点”矛盾，所以得到：与有公共点的直线的斜率满足.

ⅱ)假设与也有公共点，则方程组有实数解.

从方程组得，

，由，

因为

所以， ，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.

证明完毕

另解：

令，因为，所以|，即.于是可知的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为是，因为，

所以在区间上为增函数，在上为减函数.

因为， ，所以对任意，都有，即直线与没有公共点，与“直线与有公共点”矛盾，于是可知不是“型点”.

证明完毕.