Question

【题目】某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm2 ． （不计木料的粗细与接头处损耗）

（1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？
（2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？

Answer 1

【答案】
（1）解：设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x﹣16）cm，宽为（y﹣8）cm，由题意x＞16，y＞8，因为内框的面积为3200cm2，所以（x﹣16）（y﹣8）=3200，所以 ，外框面积为S=xy=8x+ =3328+8（x﹣16）+ ，因为x＞16，所以x﹣16＞0，所以S≥3328+2 =3328+1280=4608，当且仅当8（x﹣16）= 即x=96时等号成立，

所以外框的长与宽分别是96cm，48cm时，才能使外框矩形面积最小

（2）解：由（1）可知，所用木条的总长度为4（x+y）=4（x+8+ ）=4（x﹣16+ +24）≥4（2 +24）=96+320 ，当且仅当x﹣16= 即x=16+40 ，y=8+40 时等号成立；

所以外框的长与宽分别是（16+40 ）cm，（8+40 ）cm时，才能使制作整个展示框所用木条最少

【解析】（1）设展示框外框的长为xcm，宽为ycm，则内框长为（x﹣16）cm，宽为（y﹣8）cm，利用x，y表示面积，列出面积表达式，变形，利用基本不等式求其最小值；（2）利用（1）得到木条的长度表达式，变形，结合基本不等式求最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本不等式在最值问题中的应用的相关知识，掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．