Question

【题目】设椭圆的左、右焦点分别是，下顶点为，线段的中点为（为坐标原点），如图，若抛物线与轴的交点为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，为抛物线上的一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于点、两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，得，再由，，得，即可求出椭圆的，即可求得椭圆的方程；（2）设，表示过点的抛物线想的切线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示传线段的长度，再求出点到直线的距离为，表示传的面积，由于其是参数的函数，利用函数的知识求出其最大值，即可得到面积的最大值.

试题解析：⑴由题意可知，则，故.

令得即，则，，故.

所以，于是椭圆的方程为

⑵设，由于知直线的方程为：.即.

代入椭圆方程整理得：，

，

，，

故.

设点到直线的距离为，则

，所以，的面积

.

当时取到“＝”，经检验此时，满足题意.

综上可右，的面积的最大值为.