Question

【题目】已知函数．

（1）若在处取得极小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）求函数的导数，根据求出的值，但需要验证；（2）需要分类讨论，根据导数求出函数的最小值；（3）由（2）可得，利用裂项求和证明即可.

试题解析：（1）∵的定义域为，，

∵在处取得极小值，∴，即，此时，经验证是的极小值点，故．

（2）∵，

①当时，，∴在上单调递减，∴当时，矛盾．

②当时，，令，得；，得．

（i）当，即时，时，，即递减，∴矛盾．

（ii）当，即时，时，，即递增，∴满足题意．

综上:．

（3）证明：由（2）知令，当时，（当且仅当时取“”）

∴当时，．

即当，有

．